Estratégia de negociação ideal por controle estocástico

Controle Óptico Estocástico e Otimização de Algoritmos de Negociação.
Embora os fundos quantitativos sejam bastante comuns nos dias de hoje, para a maioria das pessoas eles ainda são "caixas negras" que fazem "matemática avançada" ou "aprendizagem em máquina" ou mesmo "inteligência artificial" dentro. Em um de nossos artigos anteriores, mostramos nosso sistema comercial (você pode lê-lo aqui: https: // medium / tensorbox / the-trading-system-that-maximizes-our-edge-a64e95533959) Em um dos futuros artigos podemos mostrar como construímos e testamos nossos modelos preditivos ou "alfa" (que utilizam estatísticas avançadas e técnicas de aprendizado de máquina). Neste artigo, mostraremos como podemos otimizar a execução de algoritmos de negociação e que tipo de tarefas de otimização surgem. Haverá algumas matemáticas avançadas, mas tentaremos mantê-lo simples no início e passar para modelos mais avançados.
Princípio de programação dinâmico e equação Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB).
Vamos assumir que temos um avião (ou um foguete) que voa do ponto A para o ponto B, mas como há muita turbulência no caminho, não pode se mover em linha reta, pois é constantemente jogado em direções aleatórias. Os sistemas de controle têm que ajustar a trajetória ("política de controle") o tempo todo, e uma vez que a quantidade de combustível é limitada, ela deve ser feita da maneira ideal. O método de programação dinâmica quebra este problema de decisão em subproblemas menores. O princípio de otimização de Richard Bellman descreve como fazer isso:
Uma política ótima tem a propriedade de que, independentemente do estado inicial e decisão inicial, as decisões restantes devem constituir uma política ótima em relação ao estado resultante da primeira decisão.
Basicamente, isso significa que parte da trajetória ideal também é uma trajetória ótima: se a linha negativa entre C e D não fosse uma trajetória ótima, devemos substituí-la por outra linha (tracejada). É por isso que esses problemas geralmente são resolvidos para trás no tempo: se estamos em algum ponto (aleatório) C 'perto de C, sabemos como chegar a C, e assim por diante.
Matematicamente, o problema poderia ser formulado assim:
precisamos minimizar a função de valor:
durante o período de tempo [0, T], onde C [] é a função de taxa de custo escalar e D [] é uma função que dá o valor econômico ou utilidade no estado final, x (t) é o vetor do estado do sistema, x (0) é assumido dado, e u (t) para 0≤ t ≤ T é o vetor de controle que estamos tentando encontrar.
Para este sistema simples, a equação diferencial parcial Hamilton-Jacobi-Bellman é:
sujeito a condição terminal:
Em geral, o objetivo dos problemas de controle estocástico é maximizar (minimizar) alguma função de lucro esperado (custo) escolhendo uma estratégia ótima que afeta a dinâmica do sistema estocástico subjacente. Vamos dar uma olhada em alguns problemas de brinquedos clássicos:
- O problema de Merton.
O agente está tentando maximizar a utilidade esperada da riqueza futura ao negociar um ativo de risco e uma conta bancária sem risco. As ações do agente afetam suas riquezas, mas, ao mesmo tempo, a dinâmica aleatória em ativos negociados modula a riqueza do agente de forma estocástica. Ou mais estritamente, o agente está tentando maximizar a expectativa de U (X), onde X - riqueza do agente - é modelado como:
onde W é um movimento browniano, usado para modelar o preço de um bem arriscado:
onde π é uma estratégia de negociação autofinanciada, é esperada uma taxa de crescimento combinada do ativo negociado e r é uma taxa de retorno composta da conta bancária sem risco.
- O Problema de Liquidação Ótima.
Suponha que o nosso modelo alfa nos diga que é rentável liquidar um grande número N de moedas no preço St e desejamos fazê-lo até o final do dia no momento T. Realisticamente, o mercado não tem liquidez infinita, então pode " t absorver uma grande ordem de venda com o melhor preço disponível, o que significa que iremos no livro de pedidos ou mesmo movemos o mercado e executaremos uma ordem a um preço mais baixo (sujeito ao impacto no mercado designado como 'h' abaixo). Portanto, devemos espalhar isso ao longo do tempo e resolver um problema de controle estocástico. Podemos também ter um senso de urgência, representado por penalizar a função de utilidade para manter invenotry não-zero ao longo da estratégia. Deixe ñ indicar a taxa em que agente vende suas moedas no tempo t. A função de valor do agente parecerá:
onde dQ = - tantdt - inventário do agente, dS - preço da moeda (como no problema de Merton acima), S't = St-h (νt) - preço de execução e dX = νtS'tdt - dinheiro do agente.
-O problema de entrada ideal para Arbitragem estatística.
Suponhamos que possamos dois ativos co-integrados A e B (ou, em caso trivial, um recurso em diferentes trocas) e possuímos um portfólio longo e curto, que é uma combinação linear desses dois ativos. A estratégia ideal deve determinar quando entrar e sair de tal carteira e podemos colocar este problema como um ótimo problema de parada. Podemos modelar a dinâmica do εt, fator de co-integração desses ativos, como.
onde W é um Motiom Browniano padrão, κ é uma taxa de reversão média, θ é o nível que o processo significa - reverte para e σ é a volatilidade do processo. O desempenho do agente, por exemplo, para sair da posição longa pode ser escrito como.
onde c é o custo de transação para a venda do portfólio, ρ representa urgência, geralmente dada pelo custo do comércio de margem e E [] denota expectativa condicional em εt = ε.
A função de valor buscará o tempo de parada ideal ao desenrolar a posição (portfólio longo) maximizando os critérios de desempenho. Alternativamente, podemos encontrar critérios de desempenho para entrar em posição longa e, finalmente, critérios para entrar e sair de posições curtas.
Há, é claro, muitos outros problemas de controle estocástico ótimos na negociação e quase qualquer algoritmo de execução pode ser otimizado usando princípios similares. O desempenho de dois algoritmos baseados nos mesmos sinais exatos pode variar muito, e é por isso que não é suficiente ter apenas um bom modelo "alfa" que gera previsões precisas.
Como um grupo de "quants" com formação acadêmica em Métodos Numéricos, Matemática Computacional, Teoria do Jogo e experiência prática em Comércio de Alta Frequência e Aprendizado de Máquinas, nosso interesse foi explorar oportunidades em mercados de criptografia, com o objetivo de explorar várias ineficiências do mercado para gerar rendimentos absolutos constantes (não correlacionados com os movimentos do mercado) com baixa volatilidade, ou simplesmente colocar, lucros estáveis, sem grandes remessas. Para mais informações, visite TensorBox e, se você gosta do que fazemos, você pode participar da nossa Oferta Token Inicial.
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TensorBox.
Como um grupo de "quants", nosso interesse é explorar oportunidades em mercados de criptografia, com o objetivo de explorar várias ineficiências de mercado para gerar retornos absolutos constantes (não correlacionados com os movimentos do mercado) com baixa volatilidade.

Estratégia de negociação ideal por controle estocástico
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Execuções Ótimas para Minimizar o Slippage.
Tem havido um trabalho considerável para encontrar estratégias de negociação que minimizem o preço de chegada ao deslizamento. Por exemplo, os seguintes são os artigos mais conhecidos:
[1] Robert Almgren, Neil Chriss, "Execução ótima de transações de carteira"
[2] Robert Almgren, "Execução ótima com funções de impacto não-linear e risco melhorado para negociação"
[3] Mauricio Labadie, Charles-Albert Lehalle, "Algoritmos de negociação ótimos e processos auto-similares: uma abordagem de variação de p"
Uma das críticas que tenho para esses documentos é que as quantidades comerciais opcionais são independentes na realização de preços. Mais precisamente, o número de ações a negociar no tempo $ t $ não depende do preço que eu possa observar nesse momento, o que é uma informação importante.
Existe algum trabalho acadêmico onde a realização do preço seja incorporada no processo de decisão?
Você está certo, esses trabalhos usam o controle determinista. O Framework usando o controle estocástico existe:
Bouchard, B., Dang, N.-M., Lehalle, C.-A., 2018. Controle ótimo de algoritmos de negociação: uma abordagem geral de controle de impulso. SIAM J. Financial Mathematics 2 (1), 404-438. URL epubs. siam / doi / abs / 10.1137 / 090777293? Af = R Kharroubi, I., Pham, H., Jun. Ótima liquidação do portfólio com custo de execução e risco. SIAM J. Finan. Matemática., 1 (1), 897-931. (35 páginas) URL arxiv / abs / 0906.2565 Guéant, O., Lehalle, C.-A., Fernandez-Tapia, J., 2018. Execução Ótima com Ordens Limites. SIAM Journal on Financial Mathematics 13 (1), 740-764. arxiv / abs / 1106.3279 Bayraktar, E., Ludkovski, M., junho de 2018. Liquidação em livros de pedidos limitados com intensidade controlada. Finanças Matemáticas. URL arxiv / abs / 1105.0247.
Para fazer o mercado, você também possui alguns papéis.
Abaixo está uma imagem do primeiro artigo na lista. Você pode ver à esquerda o volume negociado localmente (em vermelho) e as 3 trajetórias médias diretas (condicionadas pela presença de uma tendência).
É uma boa idéia usar o controle estocástico; Claro que é mais consumo de CPU do que controle determinista. Entre vocês, você tem o papel Almgren e Lorenz:

QuantStart.
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Por Imanol Pérez em 27 de setembro de 2017.
Nesta série de artigos, Imanol Pérez, pesquisador de doutorado em Matemática na Universidade de Oxford, e um contribuidor convidado especial para a QuantStart descreve os fundamentos da negociação de alta freqüência. Neste artigo, o Imanol usa a teoria do controle ótimo estocástico para executar otimamente uma grande ordem comercial.
É bem sabido que quando uma grande ordem está tentando ser executada - seja uma ordem de venda ou compra - o preço de mercado é afetado. Se a ordem for uma grande ordem de venda, o preço será arrastado para baixo, enquanto grandes pedidos de compra irão aumentá-lo. Depois de analisar nos nossos dois primeiros artigos, como funciona a microestrutura de mercado, o motivo torna-se bastante claro: grandes pedidos de mercado não serão preenchidos pelas ordens limitadas colocadas ao melhor preço, e quando essas ordens limitadas forem preenchidas, a ordem do mercado livro, afetando o preço da ação.
Neste artigo, estudaremos como podemos comprar ou vender de forma ótima uma grande quantidade de ações de uma determinada ação. Isso deve ser feito dividindo a ordem do pai em partes separadas chamadas ordens filho. Deve dividir a ordem do pai considerando o trade-off entre a execução rápida, que tem impacto negativo sobre o preço das ações e a execução lenta, o que deixará o comerciante exposto ao risco de mercado. Veremos que escrever o problema como um problema de controle ótimo e estocástico nos permitirá encontrar uma resposta satisfatória ao problema.
Definindo nosso modelo.
Começaremos por definir o nosso modelo. Por enquanto, assumiremos que o comerciante quer executar um determinado inventário. O problema inverso - aquele em que o comerciante quer adquirir uma grande quantidade de ações - pode ser resolvido da mesma forma. $ \ nu $ será a velocidade de negociação. Esta é a variável que o comerciante pode controlar e o objetivo é selecioná-lo de forma ideal. $ Q ^ \ nu $ é o inventário do comerciante, que depende da velocidade de negociação. Mais especificamente, será dada por $$ \ begin dQ_t ^ \ nu = - \ nu_t dt, \\ Q_0 ^ \ nu = q \ end $$ onde $ q $ denota o inventário inicial do comerciante. $ S ^ \ nu $ é o preço médio do estoque. Também dependerá da velocidade de negociação $ \ nu $, uma vez que uma velocidade rápida afetará negativamente o preço, como discutido. Assumiremos que tem a seguinte dinâmica: $$ \ begin dS_t ^ \ nu = \ sigma dW_t \\ S_0 ^ \ nu = S \ end $$ com $ W $ um movimento browniano padrão. $ \ hat ^ \ nu $ indicará o preço ao qual o agente pode vender o ativo - o preço de execução, depois de possivelmente andar no Livro de Pedidos Limite. Será dada por $$ \ hat _t ^ \ nu = S_t ^ \ nu - \ left (\ frac \ Delta + k \ nu_t \ right) $$ com $ k> 0 $ é algum parâmetro e $ \ Delta $ é o spread bid-ask, que será assumido como não negativo. $ X ^ \ nu $ é a quantidade de dinheiro que o comerciante tem, depois de executar o inventário inicial na velocidade $ \ nu $.
Encontrando a velocidade de liquidação ideal.
Deixe $ \ mathcal $ ser o conjunto de todos os processos limitados não negativos previsíveis. Este será o nosso conjunto de estratégias admissíveis - ou seja, a velocidade de liquidação $ \ nu $ terá de ser escolhida a partir de $ \ mathcal $. Suponhamos que queremos liquidar um portfólio de $ \ mathcal $ shares por um tempo de terminal $ T $. Então, nosso objetivo será minimizar a seguinte expectativa:
$$ \ mathbb _ \ left [\ int_t ^ T \ hat _u ^ \ nu \ nu_u du + (\ mathcal - Q_T ^ \ nu) S_T + \ alpha (\ mathcal - Q_T ^ \ nu) ^ 2 \ right], $ $ sobre todas as estratégias possíveis $ \ nu \ in \ mathcal $ e onde $ \ alpha> 0 $. Ou seja, gostaríamos de encontrar a função de valor.
$$ H (t, S, q) = \ inf_ \ mathbb _ \ left [\ int_t ^ T \ hat _u ^ \ nu \ nu_u du + (\ mathcal - Q_T ^ \ nu) S_T + \ alpha (\ mathcal - Q_T ^ \ nu) ^ 2 \ right]. $$
O primeiro termo dentro da expectativa representa a quantidade de dinheiro que obtem seguindo alguma estratégia $ \ nu $. O segundo termo, por outro lado, indica que o comerciante deve executar todas as ações que não foram liquidadas no tempo $ T $. Finalmente, o terceiro termo é uma penalidade terminal, onde penalizamos não liquidar todas as ações por tempo $ T $.
Sem entrar em detalhes, pode-se usar a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman para deduzir que a função de valor $ H $ deve saturar a seguinte Equação diferencial parcial:
Pode-se mostrar usando a PDE (veja [1] para detalhes) que a velocidade de liquidação ideal é dada por.
Como vemos, a análise estocástica fornece uma excelente ferramenta para explorar como funciona a microestrutura de mercado para criar estratégias para o ótimo problema de execução.
Série de artigos.
Referências.
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Negociação dinâmica de pares usando a abordagem de controle estocástico.
20 Páginas Publicadas: 9 de março de 2018 Última revisão: 7 de fevereiro de 2018.
Agnes Tourin.
NYU Tandon - Departamento de Finanças e Engenharia de Riscos.
Raphael Yan.
Data escrita: 1º de março de 2018.
Propomos um modelo para analisar estratégias de negociação de pares dinâmicos usando a abordagem de controle estocástica. O modelo é explorado em uma configuração ótima de portfólio, onde o portfólio consiste em uma conta bancária e dois estoques co-integrados e o objetivo é maximizar um horizonte temporal fixo, a utilidade terminal esperada da riqueza. Para a função de utilidade exponencial, reduzimos o problema para uma equação diferencial parcial parabólica linear que pode ser resolvida em forma fechada. Em particular, exibimos as posições ideais nos dois estoques.
Palavras-chave: Controle estocástico ótimo, negociação de pares, co-integração, equação Hamilton-Jacobi-Bellman.
Agnes Tourin (Autor do Contato)
NYU Tandon - Departamento de Finanças e Engenharia de Riscos (e-mail)
Raphael Yan.
BlackRock, Inc (email)
55 East 52nd Street.
Nova York, NY 10055.
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